2018年自考《高等数学》试题二
27、幂级数的收敛半径为
A、1 B、 C、2 D、0
28、微分方程y3＋(y′)6＋xy3＋x4y2=1的阶数是
A、1 B、2 C、3 D、6
29、微分方程的通解为
A、y=±1 B、y=sinx＋c
C、y=cos(x＋c) D、y=sin(x＋c)
30、微分方程满足初始条件y(0)=0的特解为
A、y=cosx－1 B、y=cosx
c、y=sinx D、y=－cosx＋1
二、填空题(每空2分，共20分)
1、a，b为常数，要使
，则b= (1) 。
2、设由y=sin(x＋y)确定隐函数y=y(x)，则dy= (2) 。
3、设当x→0时与ax是等价无穷小，则常数a= (3) 。
4、= (4) 。
5、= (5) 。
6、设f(x,y)=，则f′x(1，2)= (6) 。
7、交换积分顺序
= (7) 。
8、函数e－2x的麦克劳林级数中xn的系数为 (8) 。
9、微分方程y〃－2y′＋5y=0的通解为 (9) 。
10、函数y=lnx在区间[1,e]上满足拉格朗日中值定理条件的ξ= (10) 。
三、解答题(每小题5分，共30分)
1、求.
2、设y=cos2e－3x,求y′.
3、求∫x2e－xdx.
4、求到两点A(1，0，－1)，B(3，－2，1)距离相等的点的轨迹，并指出该轨迹的名称.
5、判断下列级数的敛散性：
(1)；(2).
6、求微分方程满足初始条件y(0)=0的特解.
四、(本题8分)
设平面图形由曲线xy=1与直线y=2，x=3围成，求
(1)平面图形的面积S
(2)此平面图形绕X轴旋转所成的旋转体体积V
五、(本题8分)
某工厂生产甲、乙两种产品，单位售价分别为40元和60元，若生产X单位甲产品，生产y单位乙产品的总费用为20x＋30y＋0.1(2x2－2xy＋3y2)＋100，试求出甲、乙两种各生产多少时取得最大利润。
六、(本题4分)
求证方程x－sinx－1=0在区间~,[,2]内有唯一零点。
参考答案
一、选择题(本题共30分)
1.B 2.A 3.D 4.C 5.C
6.A 7.C 8.D 9.B 10.A
11.B 12.A 13.C 14.C 15.A
16.D 17.C 18.D 19.B 20.B
21.B 22.A 23.A 24.C 25.A
26.D 27.B 28.C 29.D 30.D
二、填空题(每小题2分，共20分)
1、1
2、
3、
4、e4－1
5、arctgx＋ln(1＋x2)＋c
6、
7、
8、
9、ex(C1cos2x＋C2sin2x)
10、e－1
三、(每小题5分，共20分)
1、解 原式=
(3分)
=1(2分)
2、解 y′=2cose－3x．(cose－3x)′
(2分)
=2cose－3x(－sine－3x)．(e－3x)′
(2分)
=3sin(2e－3x)．e－3x(1分)
3、解 原式=－∫x2de－x
=－x2e－x＋2∫xe－xdx(2分)
=－x2e－x－2xe－x＋2∫e－xdx
=－x2e－x－2xe－x－2e－x＋c(2分)
=－(x2＋2x＋2)e－x＋c(1分)
4、解 设点(x,y,z)到A，B距离相等，则
(2分)
两边平方 并化简得
2x－2y＋2z－6=0(2分)
该轨迹称为平面(1分)
5、解：(1)∵
而等比级数收敛，
∴原级数收敛(3分)
(2)∵=1≠0，
∴原级数发散。(2分)
6、解 原方程可化为，
即(1分)
积分得(2分)
以x=0,y=0代入上式，
求得c=0。(1分)
∴所求特解为y=－1(1分)
(注：也可用一阶线性方程求解)
四、(本题8分)
解：(1)S=(3分)
=5－=5－ln6(1分)
(2)V=(3分)
=(1分)
五、(本题8分)
解：总收入为40x＋60y，总利润为
z=40x＋60y－(20x＋30y＋0.1(2x2－2xy＋3y2)＋100)=20x＋30y－0.2x2＋0.2xy－0.3y2－100(2分)
令(2分)
解得 x=90,y=80(2分)
而=－0.4,=0.2,
=－0.6
△=0.22－(－0.4)．(－0.6)<0， 而=－0.4<0
∴x=90, y=80为极大值点
因极值点唯一，故它就是最大值点。(2分)
答：当甲产品生产90单位，乙产品生产80单位时利润最大。
六、(本题4分)
证：设f(x)=x－sinx－1，
在≤x≤2上连续，
∵f()=－2<0,
f(2)=1－sin2>0，
∴f(x)在[,2]内有零点。(2分)
又f′(x)=1－cosx>0( ∴f(x)严格单调上升，∴f(x)只有唯一的零点。(2分)
